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第109章（第2页）

求解。

一平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。把一个平面（或

立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。

基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是我国古代数学进行几何推演和证明时最

常用的原理。刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面

积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。

在数学证明中成功地运用无穷小分割和极限思想，是刘徽最杰出的贡献。

《九章算术》提出圆面积公式s＝l2&iddot;r（s为圆面积，l为圆周长，r为半径）。为

证明这个公式，刘徽从圆内接正六边形s6（称为六觚）开始割圆，依次得圆内接正十二

边形s12，圆内接正二十四边形s24，……s6&iddot;2的n次方……所有s6&iddot;2的n次方＜s，但

&ldo;割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。&rdo;这相

当于：

然后他证明

而

。于是刘徽就把圆化为与之合体的内接正多边形来求面积，再把这个正多边形分割

成以每边为底以圆心为顶点的无穷多个小三角形之和，所谓&ldo;觚而裁之，每辄自倍。

故以半周乘半径而为圆幂&rdo;。从明证明了s＝l2&iddot;r。刘批评了以往&ldo;圆径一而周

三&rdo;的错误，指出此公式中周径是&ldo;至然之数&rdo;，即圆周率π。他以此公式为基础，求

出了π的两个近似值15720和39271250，在中国首次创立了求圆周率的科学方法，奠

定了我国圆周率研究在世界长期领先的基础。

刘徽注关于体积问题的论述已经接触到现代体积理论的核心问题，指出四面体体积

的解决是多面体体积理论的关键，而用有限分割和棋验法无法解决其体积。为了解决这

个问题，他提出了一个重要原理&ldo;邪解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。

阳马居二，鳖臑居一，不易之率也&rdo;，今称为刘徽原理。刘徽平分壍堵的长、宽、

高，通过出入相补，可以证明在壍堵的34中上述原理成立；而剩余的14与原壍堵的结

构相同，可以重复上述分割，又可以证明其34中这个原理成立。这个过程可以无限继