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第109章（第1页）

在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使

用了负数，并提出了正负术‐‐正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线

性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次

突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。

勾股章提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则

＞n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到

3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些

内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出了这样一组公式：

这在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。

《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，

以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后我国数学著

作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例著书；甚至西算传入中国之后，人们著

书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入&ldo;九章&rdo;的框架。

然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给

出任何推导和证明。魏景元四年（263年），刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了

这个缺陷。

刘徽是我国也是世界历史上最伟大的数学家之一。遗憾的是，他的生平我们现在知

之甚少。据考证，他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》

的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，他在数学理论方面成绩斐然。

刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和

数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出&ldo;凡数相与者

谓之率&rdo;，把&ldo;率&rdo;定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为&ldo;今两算得失相反，

要令正负以名之&rdo;，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相

反的相对关系。

《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化

了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只要找出

其中的各种率关系，通过&ldo;乘以散之，约以聚之，齐同以通之&rdo;，都可以归结为今有术