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第43章 字迹不一样（第3页）

底下人的反应在林琳的意料之中。

为了探查他们的上限，这份试卷中的题目都是往届Imo的题目。

大型国际赛事上面，六道题目总共84分，总共得了二十分的也不在少数，这还是每个国家最精英尖锐的学生。

松鼠这道题目这是一道比较困难的组合题，出在第二天的第二道题目中，可事实上却有着第三题左右的难度。

在圆周上交换位置的问题在竞赛中并不少见，这类题型的困难之处在于，每个小结论看起来都并不难，但是由于能够得到不少看起来有用或无用的小结论，怎样从当中筛选出对解题真正有帮助的那几个结论拼在一一起，这需要考生比较维密的逻辑能力。

这类题更像是“会者不难，难者不会”，有可能可以很快做出，可一旦陷入死胡同后想要再做出来就比较困难了。

台下六人，目前只有陈灵婴是那个“会者不难”的存在。

证明一:

假设结论不真。

在第k次操作中，如果交换的核桃的编号均小于k，则称太是“大”的:如果编号均大于k，则称k是“小”的。大的编号的核桃称为“大核桃”，小的编号的核桃称为“小核桃”。

我们依次指出如下的几个结论:

（1）如果k是大的，那么在第k次操作之后，编号为k的核桃不会再被交换。

假设k号核桃在第k次操作之后首次被交换是在第m次操作中，不妨设第m次操作前，m号核桃在k号核桃的左侧。我们设第k次操作后，n号核桃在k号核桃的左侧。则n＜k。

对于k＜j＜m，如果第j次操作将q号核桃与当时在k号核桃左侧的p号核桃交换，那么p＜j，即可推出q＜j。那么，通过递推我们便可以知道，k号核桃左侧的核桃的编号-定比当前的操作轮次要少，也就是说，第m-1次操作后，k号核桃左侧的核桃编号定小于m-1。这与我们的假设矛盾。

（2）不存在大的数ij，使得第i次操作中交换了j号核桃。看则，由于i是大的，因此有j＜i这与（1）矛盾。

（3）不存在小的数i，j，使得第i次操作中交换了j号核桃。否则，由于i是小的，因此有j＞i。

我们说明，在第p（i＜p≤）次操作前，始终有编号小于p的核桃与j号核桃相邻对p施行归纳法pu003di+1显然假设第p次操作前有编号小于p的核桃与j号核桃相邻，那么第p次操作有三种可能:

未交换这两个核桃，则结论对p+1依然成立:交换了j号核桃，则p号核桃与j号核桃相邻，结论对p+1成立，交换了编号小于p的那个核桃，那么交换来的核桃编号必须依然小于p。结论对p+1仍成立。

因此，在第j次操作时，j号核桃旁有编号小于j的核桃这与j是小的产生矛盾。

（4）起初放着大核桃的位置，最终也放着大核桃;起初放着小核桃的位置，最终也放着小核桃，此由（2）（3），可知每次都是大核桃与大核桃交换，小核桃与小核桃交换。继面结论（4）成立。

（5）对于每个位置，都存在一个k，使得第k次交换时，k号核桃在这个位置。

如若结论不成立，那么当这个位置放着编号为r的核桃时，一定会在第r次操作前的某一次操作，将r号核桃交换走。那么，交换来的核桃的编号依然大于当前的操作轮次，换言之，该位置上的核桃编号始终大于当前的操作轮次。这是不可接下来我们来导出最终的矛盾。

由于2021是奇数，因此起初定存在两个大核桃相邻，或两个小核桃相邻。

由结论（5），一定存在某一刻，使得这两个位置上分别放有编号为a和b的核桃，且接下来是第a次操作。结合结论（2）、（3）、（4），这便产生了矛盾!

于是，最初的假设不成立，原结论失证。

答案非常长，只单单一种证明方式就有大几百字，a4纸满满写了两张，陈灵婴揉揉手腕，觉得这道题目实在是出的有技术含量。

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